Statistik

UJI VARIANSI

LANDASAN TEORI

2.1       Konsep Dasar Analisis Variansi

            Pada uji hipotesis tidak saja hanya dapat menggunakan distribusi Z dan disribusi T. Pada materi ini kita akan menggunakan distribusi F untuk melakukan pengujian hipotesis. Pada materi ini dilakukan pengujian hipotesis dengan menggunakan distribusi F. Distribusi probabilitas ini di gunakan sebagai uji statistik di berbagai situasi. Distribusi F digunakan untuk menguji apakah dua buah sampel berasal dari populasi yang variansi yang sama. Selain itu, distribusi F juga digunakan bila kita ingin membandingkan dua atau lebih rata-rata populasi  secara simultan. Perbandingan simultan terhadap beberapa rata-rata populasi dinamakan analisis variansi (analysis of variance = ANOVA).  Pada kedua situasi tersebut, populasinya harus normal, dan datanya paling tidak harus dalam skala interval.

            Ciri-ciri utama distribusi F adalah sebagai berikut :

a.       Terdapat dua parameter, yaitu derajat bebas pembilang dan derajat bebas    penyebut.

b.      Nilai F tidak pernah negatif dan merupakan distribusi yang kontinyu.

c.       Kurva distribusi F menjulur kearah positif.

d.      Nilai F mampunyai rentang dari 0 hingga ~. Bila nilai F meningkat, kurva   distribusi mendekati sumbu X, tetapi tidak pernah menyentuhnya.

H0 diterima

H0 ditolak

Y

X

0

 

Gambar 2.1 Kurva Distribusi F

Langkah-langkah menyusun distribusi frekuensi :

1.        Menentukan Jumlah Kelas : untuk menentukan jumlah kelas dapat digunakan “Rumus Sturge”, yaitu : K = 1 + 3,322 log N ; dimana K adalah jumlah kelas dan N adalah jumlah data

2.        Mencarai Nilai Range : Range adalah jarak data terkecil sampai data terbesar atau selisih data terbesar dengan data terkecil.

3.        Mencari Nilai Interval : Interval adalah panjang kelas yang nilainya diperoleh dari nilai range dibagi dengan nilai jumlah kelas.

4.        Menentukan Kelas : Dalam menentukan kelas yang harus diperhatikan adalah bahwa semua data harus dapat masuk dalam kelas tersebut dan tidak boleh terdapat data yang tersisa atau tidak dapat masuk dalam kelas yang telah ditentukan.

5.        Mencari Frekuensi Masing-Masing Kelas : Setelah data dapat masuk semua ke dalam kelas yang telah ditentukan maka langkah selanjutnya adalah menjumlahkan data masing-masing kelas atau disebut mencari frekuensi masing-masing kelas.

Beberapa istilah di dalam distribusi frekuensi adalah :

1.        Class Limit atau batas kelas dibagi menjadi dua, yaitu batas kelas atas dan batas kelas bawah.

2.        Class Boundary merupakan nilai pertengahan antara batas bawah suatu kelas dengan batas atas kelas sebelumnya atau nilai pertengahan antara batas atas suatu kelas dengan batas bawah kelas sesudahnya. Class Boundary dibagi menjadi dua, yaitu class boundary atas dan class boundary bawah. Frekuensi adalah jumlah data masing-masing kelas.

3.        Class Mark adalah nilai pertengahan masing-masing kelas.

4.        Class Interval adalah panjang masing-masing kelas.

Distribusi F digunakan untuk menguji hipotesis yang menyatakan bahwa variansi atau populasi normal sama dengan variansi populasi normal lainnya. Jadi uji F bermanfaat untuk menentukan apakah suatu populasi normal mempunyai lebih banyak keragaman dibandingkan populasi normal lainnya.

Uji F juga dapat digunakan untuk menguji validasi asumsi-asumsi yang berkaitan dengan uji statistik tertentu. Sebagai contoh, uji t digunakan untuk menentukan apakah rata-rata dua populasi independen berbeda. Untuk menggunakan uji t kita perlu mengasumsikan bahwa dua variansi populasi sama

          Terlepas dari apakah kita ingin menentukan apakah suatu populasi mempunyai lebih banyak variansi dibandingkan populasi lain atau kita ingin melakukan validasi asumsi mengenai uji statistik, yang pertama kita lakukan adalah membuat hipotesis nol. Untuk kedua penyelidikan tersebut, hipotesis nolnya adalah bahwa variansi populasi normal satu, α₁²  sama dengan variansi populasi normal yang lain, α₂²  .

          Hipotesis alternatifnya adalah bahwa kedua variansi berbeda. Uji hipotesis ini ditulis sebagai berikut :

H₀ : σ₁² = σ ₂² = σ ₃³

H_{1  :} σ ₁² ≠ σ ₂²  ≠ σ ₃³

            Untuk melaksanakan pengujian, suatu sampel acak n₁ pengamatan diperoleh dari populasi pertama, dan sampel  n₂ pengamatan diperoleh dari populasi kedua. Uji statistik adalah S₁²/S₂², dimana S₁² dan S₂² adalah variansi masing-masing sampel. Bila hipotesis nol adalah benar, uji statistik akan mengikuti distribusi F derajat dengan bebas n₁-1 dan n₂- 1. Semakin besar variansi sampel yang diletakkan pada pembilang, maka rasio F selalu positif dan lebih besar dari 1.00. Jadi, ujung atas nilai kritis adalah satu-satunya nilai yang diperlukan. Nilai kritis F didapatkan dengan membagi dua taraf nyata (α/2) dan kemudian mengacunya pada derajat bebas yang sesuai dalam tabel distribusi F.

Distribusi F juga dipergunakan untuk menguji kesamaan dari dua rata-rata hitung atau lebih dengan menggunakan teknik yang dinamakan analisis variansi (analysis of variance = ANOVA).

Analisis varians (analysis of variance, ANOVA) adalah suatu metode analisis statistika yang termasuk ke dalam cabang statistika inferensi. Analisis of Variance (ANOVA) atau analisis sidik ragam adalah suatu metode untuk menguraikan keragaman total data menjadi komponen-komponen yang mengukur berbagai sumber keragaman. Teknik analisis sidik ragam dapat digunakan untuk menguji kesamaan beberapa nilai tengah secara sekaligus. (Walpole,1982) Intinya, ANOVA dapat digunakan untuk menguji hipotesis 2 variabel atau lebih.

 Dalam literatur Indonesia metode ini dikenal dengan berbagai nama lain, seperti analisis ragam, sidik ragam, dan analisis variansi. Ia merupakan pengembangan dari masalah Behrens-Fisher, sehingga uji-F juga dipakai dalam pengambilan keputusan. Analisis varians pertama kali diperkenalkan oleh Sir Ronald Fisher, bapak statistika modern. Dalam praktek, analisis varians dapat merupakan uji hipotesis (lebih sering dipakai) maupun pendugaan (estimation, khususnya di bidang genetika terapan).

Secara umum, analisis varians menguji dua varians (atau ragam) berdasarkan hipotesis nol bahwa kedua varians itu sama. Varians pertama adalah varians antarcontoh (among samples) dan varians kedua adalah varians di dalam masing-masing contoh (within samples). Dengan ide semacam ini, analisis varians dengan dua contoh akan memberikan hasil yang sama dengan uji-t untuk dua rerata (mean).

Supaya sahih (valid) dalam menafsirkan hasilnya, analisis varians menggantungkan diri pada empat asumsi yang harus dipenuhi dalam perancangan percobaan:

1. Data berdistribusi normal, karena pengujiannya menggunakan uji F-Snedecor
2. Varians atau ragamnya homogen, dikenal sebagai homoskedastisitas, karena hanya digunakan satu penduga (estimate) untuk varians dalam contoh
3. Masing-masing contoh saling independen, yang harus dapat diatur dengan perancangan percobaan yang tepat
4. Komponen-komponen dalam modelnya bersifat aditif (saling menjumlah).

Analisis varians relatif mudah dimodifikasi dan dapat dikembangkan untuk berbagai bentuk percobaan yang lebih rumit. Selain itu, analisis ini juga masih memiliki keterkaitan dengan analisis regresi. Akibatnya, penggunaannya sangat luas di berbagai bidang, mulai dari eksperimen laboratorium hingga eksperimen periklanan, psikologi, dan kemasyarakatan.

Asumsi dari ANOVA adalah:

1.      Data minimal memiliki skala pengukuran numerik (interval dan rasio) bukan kategorik.

2.      Data harus memiliki sebaran/distribusi Normal.

Prinsip dasar analisis varians ialah bahwa jumlah kuadrat total dan beberapa kelompok dapat dianalisa atau dipisah-pisahkan menjadi beberapa macam jumlah kuadrat. Dalam bentuknya yang paling sederhana jumlah kwadrat total dapat dibagi menjadi dua bagian, yaitu jumlah kuadrat dalam kelompok dan jumlah kuadrat antar kelompok. Istilah jumlah kuadrat sebenarnya singkatan dari jumlah dari kuadrat deviasi skor dari mean. Artinya, masing¬-masing skor dikurangi mean, kemudian hasil pengurangan untuk masing-masing skor dikuadratkan, kemudian semua hasil kuadrat itu dijumlah. Jumlah inilah yang dinamakan jumlah kuadrat.

Analisis varians sebagai metode perbandingan kelompok maka penggunaannya untuk menguji hubungan antara satu variabel dependen (skala mentrik) dengan satu atau lebih variabel independen (skala nonmetrik atau kategorikal dengan kategori lebih dari dua). Jumlah variabel independen tersebut nantinya akan membedakan jenis-jenis ANOVA, misalnya untuk mengetahui apakah pengalaman kerja sebelumnya (variabel dependen atau Y) dipengaruhi oleh jabatan atau job category (variabel independen skala kategori atau X), maka hubungan antara satu variabel dependen dengan satu variabel independen disebut One Way ANOVA. Pada kasus satu variabel dependen metrik dan dua atau tiga variabel independen kategorikal sering disebut Two Ways ANOVA (X₁ dan X₂ terhadap Y) dan Three Ways ANOVA (X₁; X₂; X₃ terhadap Y).

ANOVA digunakan untuk mengetahui pengaruh utama (main effect) dan pengaruh interaksi (interaction effect) dari variabel independen kategorikal (sering disebut faktor) terhadap variabel dependen metrik. Pengaruh utama atau main effect adalah pengaruh langsung variabel independen terhadap variabel dependen. Sedangkan pengaruh interaksi adalah pengaruh bersama atau joint effect dua atau Iebih variabel independent terhadap variabel dependent.

Untuk dapat menggunakan uji statistik ANOVA harus dipenuhi beberapa asumsi di bawah ini:

1.      Homogeneity of variance: Variabel dependent harus memilki varian yang sama dalam setiap kategori variabel independent. Jika terdapat lebih dari satu variabel independent, maka harus ada homogeneity of variance di dalam cell yang dibentuk oleh variabel independen kategorikal. Skor asumsi test ini umumnya dengan Levene's test of homogeneity of variance. Jika nilai Levene test signifikan (probabilitas < 0.05) maka hipotesis nol akan ditolak, dengan kata lain group memiliki variance yang berbeda dan hal ini menyalahi asumsi. Jadi yang dikehendaki adalah tidak dapat menolak hipotesis nol atau hasil Levene test tidak signifikan (probabilitas > 0.05). Walaupun asumsi variance sama ini dilanggar.

2.      Random Sampling: Untuk tujuan uji signifikansi, maka subyek (n) di dalam setiap grup harus diambil secara random.

3.      Multivariate Normality: Untuk tujuan uji signifikansi, maka variabel harus mengikuti distribusi normal multivariate. Variabel dependent terdistribusi secara normal dalam setiap kategori variabel independent. ANOVA masih tetap robust walaupun terdapat penyimpangan asumsi multivariate normality. SPSS memberikan uji Boxplot test of the normality assumption.

Analysis of variance yang digunakan untuk membandingkan nilai rata-rata tiga atau lebih sampel yang tidak berhubungan pada dasarnya adalah menggunakan F test yaitu estimate between groups variance (atau mean-squares) dibandingkan dengan estimate with groups variance. Total variance dalam variabel dependent dapat dipandang memiliki 2 (dua) komponen yaitu variance yang berasal dari variabel independen dan variance yang berasal dari faktor lainnya. Variance dari faktor lain ini sering dsiebut dengan error atau residual variance. Variance yang berasal dari variabel independen disebut dengan explained variance. Jika between group (explained) variance lebih besar dari within group (residual) variance, maka nilai F ratio akan tinggi yang berarti perbedaan antara nilai means terjadi secara acak.

Tes signifikansi t dan F sayangnya tidak menunjukkan besar atau kuatnya relasi. Suatu tes-t untuk menguji selisih antar harga tengah, jika signifikan, hanya rnemberitahukan pada penelitinya bahwa ada suatu relasi. Begitu pula halnya dengan tes F, bila hasilnya signifikan. Relasi itu disimpulkan dari perbedaan signifikansi antara dua, atau tiga harga tengah, atau lebih. Suatu tes statistik seperti F, secara tak langsung mengatakan bahwa terdapat atau tidak terdapat relasi antara variabel bebas dengan variabel terikat.

Kebalikan dengan tes signifikansi statistik t dan F, maka koefisien korelasi atau r adalah ukuran yang relatif langsung. Di dalamnya tertandung pesan yang mudah ”dilihat”, karena penggabungan dua himpunan skor lebih jelas kelihatan sebagai suatu relasi. Ini sesuai dengan definisi tentang relasi sebagai sehimpunan pasangan berurut. Misalnya, jika r = 0,90, mudahlah dilihat bahwa urutan peringkat ukuran-ukuran kedua variabel itu sangatlah mirip. Akan tetapi nisbah t dan F berada satu atau dua langkah dari relasi sebenarnya.

Syarat-syarat analisis variansi adalah sebagai berikut :          

1.      Populasi-populasi yang diteliti memiliki distribusi normal    

2.      Populasi tersebut memiliki standar devisi yang sama (atau variansi yang sama).

3.      Sampel yang ditarik dari populasi tersebut bersifat bebas, dan sampel ditarik secara acak.

Uji F adalah uji statistik yang dipergunakan untuk mengetahui apakah rata-rata hitung dua populasi atau lebih adalah sama. Apabila satu atau beberapa asumsi diatas tidak terpenuhi, teknik ANOVA tidaklah tepat untuk digunakan. Sebagai gantinya, digunakan uji Kruskal-Wallis yang akan dibahas pada materi statistik non parametrik.

2.2        Prosedur Analisis Variansi

Prosedur ANOVA juga mempergunakan prosedur uji hipotesis yang sama dengan prosedur uji hipotesis yang lain yaitu :

a.       Menentukan hipotesis nol dan hipotesis alternatifnya.

b.      Menentukan taraf nyata.

c.       Menentukan uji statistik.

            Uji statistik yang dipergunakan adalah distribusi F.

                            Variansi populasi yang di duga dengan keragaman antara rata-rata hitung sampel

                F =

                                         Variansi populasi yang diduga berdasarkan keragaman didalam sampel

            Istilah umum untuk pembilang adalah “Variansi antar sampel”. Untuk         penyebut adalah “variansi didalam sampel”. Pembilang memiliki derajat            bebas k-1 dan penyebut memiliki derajat bebas k(n-1), dinamakan k adalah    banyaknya perlakuan dan n adalah banyaknya pengamatan.

d.    Menentukan aturan pengambilan keputusan.

e.    Menghitung F dan mengambil keputusan.

Untuk membantu perhitungan  F disusunlah tabel ANOVA. Tabel ini adalah bentuk yang mudah untuk menyimpan hasil perhitungan. Format umum untuk menyimpan hasil analisis variansi satu arah ditunjukkan pada tabel berikut :

Tabel 2.1 Format Umum untuk Analisis Variansi Satu Arah

Sumber Variansi	Jumlah Kuadrat	Derajat Bebes	Kuadrat Tengah	Hitung
Antar Perlakuan	JKA	k-n	= s
Galat (dalam perlakuan)	JKG	k(n-1)	= s
Total	JKT	nk-1

Perlu diingat bahwa salah satu dari asumsi dasar ANOVA adalah variansi populasi sama untuk setiap perlakuan. Nilai variansi populasi tersebut dinamakan kuadrat tengah kesalahan (mean square error) dan diperoleh dari JKG/k (n-1).

Keterangan :

a)         S adalah rata-rata hitung antar perlakuan atau mean square between                       treatments (MSTR).

b)        S adalah kuadrat tengah karena pengaruh kesalahan atau kuadrat tengah               perlakuan atau mean square due to error (MSE). Kuadrat tengah berarti           jumlah kuadrat dibagi derajat bebas. Hasil pembagian ini adalah sama            dengan rumus hitung varians. Jadi  suatu kuadrat tengah adalah ukuran       keragaman.

c)         JKA adalah jumlah kuadrat antar perlakuan atau sum of square treatment    (SST).

        Dapat dihitung dengan rumus :

JKA =

d)       JKT adalah jumlah dari keragaman antar kolom dan antar baris atau SS total.

       Dapat dihitung dengan rumus :

JKT =

e)        JKG adalah jumlah kuadrat kesalahan atau sum of square error (SSE). 

            Dapat dihitung dengan rumus :

JKG = JKT – JKA

Karena rasio kedua nilai variansi ( kuadrat tengah ) mengikuti bentuk distribisi F maka kita dapat menghitung nilai F sebagai berikut :

F =

Misalkan  dalam melakukan prosedur ANOVA, kita mendapatkan bahwa hipotesis nol ditolak. Penolakan tersebut membuat kita menyimpulkan bahwa tidak semua nilai tengah sama. Terkadang kita cukup puas dengan kesimpulan itu,  tetapi pada saat lain mungkin kita ingin mengetahui nilai tengah perlakuan mana yang berbeda.

Sebagai contoh, mahasiswa pada mata kuliah Statistik Industri I menilai pengerjaan dosennya sebagai peringkat 1 (sangat baik), 2 (baik), 3 (cukup), atau 4 (buruk). Asisten mata kuliah mengumpulkan hasil peneliti tersebut dan berjanji memberitahu dosen setelah nilai akhir mahasiswa diumumkan. Peringkat (perlakuan ) yang diberikan mahasiswa dicocokkan dengan nilai akhir yang mereka peroleh. Logikanya, mahasiswa yang menganggap pengajaran dosen tersebut sangat baik akan mendapatkan nilai akhir yang jauh lebih bagus dari pada temannya yang menilai baik, cukup, atau buruk. Demikian pula mereka yang menilai pengajaran dosen buruk cendrung akan mendapatkan nilai yang paling rendah. Untuk mengetahui apakah ada perbedaan nilai tengah pada keempat grup, maka dari setiap grup diambil sampelnya. Berdasarkan perhitungan diperoleh hipotesis nol bahwa tidak ada perbedaan nilai tengah ditolak. Hal ini menunjukkan bahwa perbedaan nilai tengah yang teramati bukan hal yang kebetulan semata. Hasil perhitungan tersebut menunjukkan bahwa nilai akhir seorang mahasiswa berhubungan dengan pendapat mereka tentang cara pengajaran dosennya didalam kelas. Pada masalah tersebut hipotesis nol ditolak dan hipotesis alternatif diterima. Jika pendapat mahasiswa benar-benar berbeda, pertanyataan yang timbul adalah antara kelompok manakah nilai tengah tersebut berbeda.

Ada beberapa prosedur untuk menjawab pertanyaan itu. Pada kasus tersebut, distribusi t dapat digunakan sebagai dasar pengujian ini. Perlu diingatbahwa salah satu asumsi dasar ANOVA adalah variasi populasi sama untuk setiap perlakuan. Nilai varians populasi tersebut dinamakan kuadrat tengah kesalahan (mean square error), disingkat MSE, dan diproleh dari JKG/k(n-1). Satu selang kepercayaan untuk beda dua nilai tengah populasi diperoleh :

dimana :

rata-rata pertama.

rata-rata perlakuan kedua.

t diperoleh dari tabel t.

t derajat bebas adalah k(n-1).

n = banyaknya pengamatan pada perlakuan pertama

n = banyaknya pengamatan pada perlakuan kedua.

            Bila selang kepercayaan tersebut mengandung nilai nol, maka tidak terdapat perbedaan pada kedua nilai tengah. Sebagai contoh, bila nilai batas bawah selang kepercayaan adalah negatif dan nilai batas atasnya positif, maka kedua nilai tengah tidak berbeda.

            Penyelidikan tentang perbedaan nilai tengah adalah proses bertahap. Tahap awal adalah menyusun tabel ANOVA. Hanya jika hipotesis nol, yang menyatakan bahwa nilai tengah sama ditolak maka analisis tentang nilai tengah dapat dilakukan.

            Dalam perhitungan statistik F, keragaman berasal dari dua sumber. Pertama, keragaman antara perbedaan nilai tengah berlaku. Kedua, keragaman dimana setiap perlakuan. Jadi, keragaman mungkin berasal dari perlakuan atau dari suatu faktor acak saja.

Pengujian hipotesis dengan teknik ANOVA dapat dibedakan atas tiga jenis, yakni sebagai berikut :

1.            Pengujian klasifikasi satu arah.

      Pengujian klasifikasi satu arah merupakan pengujian hipotesis beda tiga rata-rata atau lebih dengan satu faktor yang berpengaruh.

            Langkah-langkah pengujian klasifikasi satu arah adalah sebagai berikut :

1.        Menentukan formulasi hipotesis.

2.        H₀ : μ₁ = μ₂ = μ₃ =…= μ_k.

3.        H₁ : μ₁ ≠ μ₂ ≠ μ₃ ≠…≠ μ_k.

4.        Menentukan taraf nyata (α) beserta F__tabel.

5.        Menentukan kriteria pengujian.

6.        H₀ diterima apabila F₀ ≤ F_{α ( v1 : v2 ).}

7.        H₀ ditolak apabila F₀ > F_{α ( v1 : v2 ).}

8.        Membuat analisis variansi nya dalam bentuk tabel ANOVA.

Selain menggunakan tabel ANOVA, analisis variansi dapat juga dilakukan secara langsung dengan menggunakan langkah-langkah berikut:

1.        Menentukan rata-rata sampel.

2.        Menentukan varians sampel.

3.        Menentukan rata-rata varians sampel.

4.        Menentukan varians rata-rata sampel.

2.                  Pengujian klasifikasi dua arah tanpa interaksi

Pengujian klasifikasi dua arah tanpa interaksi merupakan pengujian hipotesis beda tiga rata-rata atau lebih dan dua faktor yang berpengaruh dan interaksi antara kedua faktor tersebut ditiadakan.

            Langkah-langkah pengujian klasifikasi dua arah tanpa interaksi adalah sebagai berikut :

1.                Menentukan formulasi hipotesis.

a.    H₀ : σ ₁ = σ ₂ = σ ₃ =…= 0 (pengaruh baris nol)

    H₁  : sekurang-kurangnya satu αi tidak sama dengan nol

b.    H₀  : β₁ = β₂ = β₃ =…= 0 (pengaruh baris nol)

    H₁  : sekurang-kuragnya satu βj tidak sama dengan nol

2.                Menentukan taraf nyata α dan F _tabel nya.

            Taraf nyata dan F tabel ditentukan dengan derajat pembilang dan penyebut masing-masing :

a. Untuk baris              : v1 = b-1 dan v2 = (k-1) (b-1)

b. Untuk kolom           : v1 = b-1 dan v2 = (k-1) (b-1)

3.         Menentukan kriteria pengujian

a. H₀ diterima apabila F₀ ≤ F_{α (v1 : v2)}

    H₀ ditolak apabila F₀ ≤ F_{α (v1 : v2)}

b. H₀ diterima apabila F₀ ≤ F_{α (v1 : v2)}

    H₀ ditolak apabila F₀ ≤ F_{α (v1 : v2)}

2.3              Analisis Variansi Multifaktor

Seperti yang telah kita ketahui bersama bahwa statistik berurusan dengan pengembangan dan penggunaan metode serta teknik untuk pengumpulan, penyajian, penganalisaan dan pengambilan kesimpulan mengenai populasi berdasarkan sekumpulan data, sehingga ketidakpastian dari kesimpulan berdasarkan data itu dapat diperhitungkan dengan menggunakan ilmu hitung probabilitas. Dalam hal ini perlu diingat bahwa analisis hanya bersifat eksak apabila asumsi-asumsi (pada umumnya mengenai bentuk distribusi) semuanya dipenuhi. Akan tetapi pada kenyataannya hal ini tidak mungkin terjadi dan sukar dibuktikan sepenuhnya sehingga hal ini akan tergantung pada kecakapan memilih metode analisis yang tepat untuk suatu persoalan, termasuk cara-cara perencanaan untuk memproleh data yang dibutuhkan.

Sering terjadi bahwa data yang dikumpulkan ternyata tidak atau kurang berfaedah untuk keperluan analisis persoalan yang dihadapi. Untuk mengatasi hal ini, sebuah cara harus ditempuh yang dikenal dengan nama analisis variansi atau Desain Eksperimen yaitu suatu teknik untuk menganalisis atau menguraikan seluruh (total) variansi atas bagian-bagian yang mempunyai makna.

Setiap perlakuan dasar disebut faktor dan jumlah bentuk yang mungkin dari suatu faktor disebut taraf dari faktor tersebut. Ada empat macam faktor yang digunakan yaitu :

a.         Faktor Kualitatif Spesifik

       Faktor yang taraf-tarafnya tidak dapat disusun bertingkat, berarti perbedaannya hanya dapat dijelaskan secara deskriptif, sebagai contoh uji varietas padi, uji insektisida, teknik pemangkasan yang berbeda-beda dan pengolahan tanah yang berbeda-beda.

b.        Faktor Kuantitatif

       Faktor dengan taraf-taraf yang berbeda secara kuantitatif, contohnya dosis pupuk Nitrogen 0 kg N/ha dan 30 kg N/ha, perbedaan suhu 15⁰  C, 20⁰  C dan25⁰  C. Penentuan tarafnya disini hanya berdasarkan perkiraan, pada perubahan pupuk Nitrogen atau suhu berapa akan berpengaruh.

c.         Faktor Kualitatif Bertingkat

       Suatu faktor disusun berdasarkan tingkatannya, pengelompokannya dilakukan secara kasar sehingga tidak dapat diukur secara kuantitatif. Misalnya serangan penyakit pada suatu tanaman dengan taraf-tarafnya terserang berat, sedang dan ringan atau umur orang dibawah 20 tahun, 20-30 tahun, diatas 30 tahun. Faktor ini bersifat tetap karena perbedaan antar taraf dapat dijelaskan dengan baik.

d.        Faktor Kualitatif Sampel

       Contohnya adalah sebagai berikut :

-            Bahan baku industri, taraf-tarafnya diambil secara acak dari populasi bahan baku.

-            Percobaan dibidang pertanian yang diulang setiap tahun atau dibeberapa pusat penelitian, taraf-tarafnya adalah tahun atau beberapa pusat penelitian.

-            Percobaan untuk meneliti pengaruh dua metode analisis kimia sebagai faktor pertama dan sebagai faktor kedua (faktor kualitatif sampel adalah beberapa teknisi yang berbeda).

2.3.1        Percobaan Faktorial

Misalkan kita ingin meneliti pengaruh dua faktor A dan B pada suatu respon. Sebagai contoh, dalam suatu percobaan kimia kita ingin mengubah tekanan reaksi dan waktu reaksi secara serentak dan meneliti pengaruh waktu masing-masing pada hasil reksi. Dalam percobaan biologi, mungkin ingin diteliti pengaruh waktu dan suhu pengeringan pada sejumlah bahan padat (persen berat) yang tertinggal dalam sampel ragi. Seperti yang telah disebut sebelumnya, istilah faktor dipakai dalam arti yang luas untuk menyatakan setiap hal yang mempengaruhi percobaan seperti suhu, waktu atau tekanan yang mungkin berubah dari suatu usaha keusaha lainnya. Taraf suatu faktor didefinisikan sebagai nilai sesungguhnya yang digunakan dalam percobaan.

Dalam setiap hal ini, tidak hanya menentukan apakah kedua faktor berpengaruh pada respon saja yang penting, tetapi juga menentukan apakah terdapat interaksi yang berarti antara kedua faktor tadi. Sepanjang menyangkut istilah, pecobaan yang di uraikan disini adalah klasifikasi dwiarah atau percobaan dwifaktor dan rancangan percobaan mungkin rancangan teracak lengkap dengan berbagai kombinasi perlakuan disusun secara acak pada semua satuan percobaan, atau raancangan blok teracak lengkap dengan kombinasi faktor diatur secara acak pada blok. Maksudnya, tidak dilakukan pembatasan seperti pemblokan terhadap satuan percobaan. Dalam contoh ragi, berbagai kombinasi perlakuan mengenai suhu dan waktu pengeringan  dikenakan secara acak terhadap sampel ragi bila rancangan teracak lengkap digunakan.

2.3.2        Interaksi dan Percobaan Dwifaktor

Sebelum menarik kesimpulan, kita sebaiknya berusaha dulu menentukan adanya interaksi dengan suatu uji keberartian. Kemudian bila ternyata interaksi tidak berarti, diteruskan dengan pengujian pengauh faktor utama. Bila data menunjukkan adanya interaksi tidak berarti, maka hanya uji mengenai pengaruh utama yang berarti yang berguna ditafsirkan. Pengaruh utama yang tidak berarti bila ada interaksi bila mungkin sekali karena adanya penutupan dan ini mengharuskan adanya pemeriksaan  pengaruh setiap faktor pada taraf yang tetap faktor lainnya.

Interaksi dan galat percobaan terpisahkan dalam percobaan dwifaktor hanya bila lebih dari satu pengamatan diambil pada berbagai kombinasi perlakuan. Untuk koefisienan maksimum diusahakan mendapatkan banyak pengamatan n yang sama pada tiap kombinasi. Diusahakan ada replikasi yang sesungguhnya, bukan hanya pengulangan pengukuran. Sebagai contoh, dalam pembahasan mengenai ragi, bila diambil n = 2 pengamatan pada tiap kombinasi suhu dan waktu pengeringan, seharusnyalah tersedia dua sampel terpisah dan bukan hanya pengulangan pengukuran pada sampel  yang sama. Ini akan memungkinkan keragaman karena satuan percobaan muncul dalam galat sehingga variasi tidak hanya karena galat pengukuran.

2.3.3        Analisis Variansi Dwifaktor

Untuk memperoleh rumus umum analisis variansi percobaan dwifaktor dengan pengamatan yang berkurang dalam rancangan teracak lengkap, pandanglah n replikasi pada tiap kombinasi perlakuan bila faktor A diamati pada α taraf dan faktor B pada b taraf. Pengamatan dapat disajikan dalam suatu matrik yang basisnya menyatakan taraf faktor A, sedangkan kolomnya menyatakan taraf faktor B. Tiap kombinasi perlakuan menentukan suatu sel dalam matrik. Jadi terdapat sebanyak ab sel, masing-masing berisi n pengamatan. Pengamatan tersebut membentuk acak berukuran n dari suatu populasi yang berdistribusi normal dan semua populasi yang banyaknya ab dianggap mempunyai variansi s² yang sama. Perhitungan mengenai masalah analisis variansi, untuk percobaan dwifaktor dengan n replikasi seperti tabel berikut:

Rumus perhitungan jumlah kuadrat :

            JKT =

            JKA =

            JKB =

            JK(AB) =

JKG = JKT – JKA – JKB –JK(AB)

 Tabel 2.2 Analisis Variansi Dwifaktor

Sumber variansi	Jumlah kuadrat	Derajat kebebasan	Rata-rata kuadrat	F_ hitung
Pengaruh utama A B Interaksi Dwifaktor AB Galat	JKA JKB JK(AB) JKG	a-1 b-1 (a-1) (b-1)       ab (n-1)
Total	JKT	Abn - 1

Dengan JKA dan JKB masing-masing menyatakan jumlah kuadrat pengaruh utama A dan B, JK (AB) menyatakan jumlah kudrat interaksi A dan B, dan JKG menyatakan jumlah kuadrat galat .Sedangkan T menyatakan jumlah pengamatan yang dilakukan.

2.3.4        Percobaan Trifaktor

Pada bagian ini dibahas suatu percobaan dengan tiga faktor A, B, dan C masing-masing pada taraf a, b, dan c, dalam rancangan percobaan teracak lengkap. Misalkan kembali terdapat n pengamatan dalam tiap kombinasi perlakuan abc.

Seperti telah diuraikan sebelumnya, agar uji keberartian yang absah dapat dibuat harus dianggap bahwa galat merupakan nilai bebas dari peubah acak yang berdistribusi normal, masing-masing dengan rata-rata nol dan variansi bersama s².

Falsafah umum analisis sama saja dengan yang telah diuraikan pada percobaan satu dan dwifaktor. Jumlah kuadrat diuraikan menjadi delapan bagian, tiap bagian menggambarkan suatu sumber variasi yang  memberikan taksiran s² yang bebas bila semua pengaruh utama dan interaksi nol. Bila pengaruh suatu faktor tertentu atau interaksi tidak semuanya nol, maka rataan kuadrat akan menaksir variansi galat ditambah suatu komponen yang diakibatkan oleh pengaruh sistematis dari masalah yang diselidiki.   

Perhitungan mengenai analisis variansi, untuk percobaan trifaktor dengan n replika dapat diringkas seperti tabel berikut ini :

Tabel 2.3 Analisis Variansi Trifaktor

Sumber Variansi	Jumlah Kuadrat	Derajat Kebebasan	Rata_Rata Kuadrat	F_Hitung
Pengaruh Utama A B C Interaksi dwifaktor AB AC BC Interaksi trifaktor ABC Galat JUMLAH	JKA JKB           JKC JK( AB ) JK( AC ) JK( BC ) JK( ABC ) JKG JKT	a – 1 b - 1 c - 1 ( a -1 )(b - 1) ( a -1 )(b – 1) ( a -1 )(b – 1) ( a -1 )(b – 1)( c -1) Abc( n - 1) abcn - 1	S12 S22 S32 S42 S52 S62 S72 S2

Jumlah kuadrat dihitung dengan menggganti jumlah yang sesuai ke dalam rumus perhitungan berikut:

JKT =       

JKA =

JKB =

JKC        =  

     

2.4              Uji Distribusi Normal atau Uji Kenormalan

Asumsi bahwa populasi berditribusi normal, asumsi normalitas, telah melancarkan teori dan metode statistik sedemikian rupa sehingga banyak persoalan yang dapat diselesaikan dengan lebih mudah dan cepat. Oleh karena itu, cukup mudah dimengerti kiranya bahwa asumsi normalitas perlu dicek keberlakuannya agar langkah-langkah selanjutnya dapat dipertanggung jawabkan.

Uji kenormalan dapat dilakukan dengan menggunakan uji kebaikan suaian atau kecocokan (Test of Goodnees of Fit). Uji ini didasarkan pada seberapa baik kesesuaian antara frekuensi yang teramati dalam data contoh atau sampel dengan frekuensi harapan yang didasarkan pada sebaran yang dihipotesiskan, dalam hal ini adalah sebaran atau distribusi normal yang memiliki model (Sudjana, 1989) :

dimana :

p = 3.1415 dan e = 2.7183

s = Parameter merupakan simpangan baku untuk distribusi

µ = Parameter merupakan rata-rata untuk distribusi

Untuk keperluan pengujian normalitas ini, data harus disusun dalam daftar distribusi frekuensi yang terdiri atas k buah kelas interval.

Uji kebaikan suai antara frekuensi yang teramati dengan frekuensi harapan didasarkan pada besaran :

Sedangkan x² merupakan sebuah nilai perubah acak x² yang sebaran penarikan contohnya sangat menghampiri sebaran khi-kuadrat. Lambang O₁ dan E₁, masing-masing, menyatakan frekuensi teramati dan rekuensi harapan bagi sel ke-I” (Dalil 10.1, Walpole, 1997).

Bila frekuensi teramati sangat dekat dengan frekuensi harapannya, nilai x² akan besar sehingga kesesuaiannya buruk. Kesesuaian yang baik akan membawa penerimaan H₀, sedangkan kesesuaian yang buruk akan membawa pada penolakan H_0. dengan demikian, wilayah kritiknya akan akan jatuh di ekor  kanan sebaran khi-kuadratnya. Untuk taraf nyata sebesar α, nilai kritiknya x² _(1-α)(dk) dapat diproleh pada tabel distribusi khi-kuadrat, dengan demikian wilayah kritiknya adalah x² ³ x² _(1-α)(dk) (Sudjana, 1989). Kriterium keputusan ini tidak dapat digunakan bila ada frekuensi harapan yang nilainya kurang dari 5 Persyaratan ini mengakibatkan adanya penggabungan sel-sel yang berdekatan, sehingga mengakibatkan berkurangnya derajat bebas.

Banyaknya derajat dalam uji kebaikan-suai yang didasarkan pada sebaran khi-kuadrat, sama dengan banyaknya sel (kelas) dalam percobaan yang bersangkutan dikurangi dengan banyaknya besaran yang diproleh dari data pengamatan (contoh) yang digunakan dalam perhitungan frekuensi harapannya (Dalil 10.2, Walpole, 1997).

Banyaknya derajat bebas (dk) bagi uji kenormalan adalah dk = k-3, karena ada tiga besaran, yaitu frekuensi total, rata-rata, dan simpangan baku, yang diperlukan untuk menghitung frekuensi-frekuensi harapannya, dan k adalah banyaknya kelas interval.

2.5        Uji Homogenitas Variansi

Untuk menguji kesamaan beberapa buah rata-rata, sebagaimana dalam metode analisis variansi (ANOVA), diasumsikan populasinya mempunyai variansi yang homogen, yaitu . Oleh karenanya perlu dilakukan pengujian homogenitas (kesamaan) variansi populasi normal.

Misalkan kita mempunyai k  buah populasi berdistribusi independen dan normal masing-masing dengan variansi . Akan di uji hipotesis :

H₀ :

H₁ : Paling sedikit satu tanda sama dengan tidak berlaku.

Berdasarkan sampel-sampel acak yang masing-masing diambil dari setiap populasi.

Salah satu cara untuk menguji homogenitas k buah  variansi populasi yang berdistribusi normal adalah dengan uji bartlett.

Kita misalkan memiliki masing-masing sampel berukuran n₁, n₂….,n_k

Dengan data Y_ij (i = 1, 2, …., k dan j = 1, 2, ….nk) kemudian dari sampel-sampel itu kita hitung masing-masing variansinya yaitu s₁², s₂², ….,s_k². ternyata untuk uji Bartlett digunakan statistik khi-kuadrat (Sudjana, 1989)

X² = (log 10) {B-å (n_i-1) log s_i²}

Dimana :

Ln 10   = 2.306

B         = (log s²) å(n_i-1)

s²        

s²         = varians gabungan dari semua sampel.

            Dengan taraf nyata α, hipotesis H₀ ditolak jika x² hitung ≥ x² _{( 1- α ) (dk )}, dimana x² _(1- α_{) (dk)} didapat dari tabel distribusi chi kuadrat dengan peluang (1- α) dan dk = (k-1).